Mischgas Theorie

Wird mehr als nur ein Inertgas (Stickstoff N2 bei Luft/Nitrox; bzw. Helium bei Heliox)
geatmet, also z.B. zwei im Falle von Trimix (Stickstoff N2 und Helium He) müssen die entsprechenden Ansätze (siehe Haldane-Gleichung, (6a)) erweitert werden.

Prinzipiell wird das Gesetz von Henry für jedes Inertgasi separat gelten:

qi = li * pi * Vk

Q = ∑ qi

(50)

Summiert wird hierbei über alle Inertgasei als auch über alle Kompartimentek


Variable Definition
qi Menge des gelösten Inertgases i in einem Kompartiment mit Volumen Vk
li Löslichkeitskoeffizient des Inertgasesi bezüglich des Volumens Vk
pi Partialdruck des Inertgasesi
Vk Volumen einer Kompartimentes k

Für die Summe aller Partialdrücke wird das Gesetz von Dalton gelten:

P = ∑ pi = p1 + p2 + p3 + ... (51)

Demgemäß wird für stationäre Zustände in den Kompartimenten folgendes gelten:
Pt(0) = ∑pt, i(0) = pt, N2(0) + pt, He(0) (52a)

sowie für die Alveolen:
Palv(0) = ∑palv, i(0) = palv, N2(0) + palv, He(0) (52b)

sowie für alle Zeiten t:
Ptiss(t) = Pt(t) = ∑ ptiss, i(t) = ptiss, N2(t) + ptiss, He(t) (52c)


Deshalb erweitern wir die Haldane-Gleichung (6a):

Pt(t) = Palv0,N2 + [Pt0,N2 - Palv0,N2] e-kN2t + Palv0,He + [Pt0,He - Palv0,He] e-kHet (53)


Wir prüfen nun, ob auch diese Erweiterung die grundlegende Differentialgleichung (1a) erfüllt. Die DGL (1a) wird um den Zusatzterm für ein zweites Inertgas erweitert:

dPt(t)/dt = k1 * [Palv,N2(t) - Pt,N2(t)] + k2 * [Palv,He(t) - Pt,He(t)] (54)

Wir bestimmen die Proportionalitätsfaktoren k1 und k2, indem wir aus (53) d Pt(t) / dt berechnen:

dPt(t)/dt = - kN2 * [Pt0,N2 - Palv0,N2] e-kN2t - kHe * [Pt0,He - Palv0,He] e-kHet (53a)

... und jetzt damit die linke Seite von (54) ersetzen:

- kN2 * [Pt0,N2 - Palv0,N2] e-kN2t - kHe * [Pt0,He - Palv0,He] e-kHet =

k1 * [Palv,N2(t) - Pt,N2(t)] + k2 * [Palv,He(t) - Pt,He(t)] =

k1 * Palv,N2(t) - k1 * Pt,N2(t) + k2 * Palv,He(t) - k2 * Pt,He(t)

(55)

Für die pt, i(t) bemühen wir nochmals den Ansatz (52c) bzw. (53), setzen diesen in (55), rechte Seite, ordnen um und erhalten:

- kN2 * [Pt0,N2 - Palv0,N2] e-kN2t - kHe * [Pt0,He - Palv0,He] e-kHet =

k1 * Palv,N2(t) + k2 * Palv,He(t) - k1 * [Palv0,N2 + [Pt0,N2 - Palv0,N2] e-kN2t - k2 * [Palv0,He + [Pt0,He - Palv0,He] e-kHet

(55a)

Ausmultiplizieren der eckigen Klammern [ ... ] der rechten Seite und Umordnung nach konstanten bzw. zeitabhängigen Termen ergibt:

- kN2 * [Pt0,N2 - Palv0,N2] e-kN2t - kHe * [Pt0,He - Palv0,He] e-kHet =

k1 * Palv,N2(t) + k2 * Palv,He(t) - k1 * Palv0,N2 - k1 * (Pt0,N2 - Palv0,N2)e-kN2t - k2 * Palv0,He - k2 * (Pt0,He - Palv0,He)e-kHet =

k1 * [Palv,N2(t) - Palv0,N2] + k2 * [Palv,He(t) - Palv0,He] - k1 * (Pt0,N2 - Palv0,N2)e-kN2t - k2 * (Pt0,He - Palv0,He)e-kHet

(55b)

Bemühen wir nun die identischen Randbedingungen für beide Inertgase die zur Lösung (6a) geführt haben:

Palv,N2(t) = Palv0,N2 für alle Zeiten t und analog
Palv,He(t) = Palv0,He
wird die Gleichung (55a) identisch erfüllt für:
k1 = kN2 sowie: k2 = kHe
(55c)

Der Ansatz (53) erfüllt also die zentrale DGL (1a), wenn das zweite Inertgas als additiver Zusatz berechnet wird:
sowohl für den stationären Teil, also den zeitlich konstanten Anteil am alveolären Gas (52b) als auch den zeitabhängigen (52c).


Berechnung von Dekompressionszeiten mit Mischgasen

Schauen wir zunächst die einfachen Verhältnisse bei nur einem Inertgas (Luft/Nitrox) auf einer konkreten Deko-Stufe (6m) an,
bevor auf die nächsthöhere Dekostufe (3m) aufgetaucht werden kann:

NB: die Zahlen sind nur eine grobe Näherung: die Identifikation der Variabeln dient zur Übersicht über die Gleichung (23):

t = - τ / ln2 * ln[ (Pt(t) - Palv0) / (Pt0 - Palv0) ]

Die wirkliche Deko-Zeit td ist dabei der Maximalwert aus allen berechneten Deko-Zeiten die über die komplette Schar aller Kompartimente ermittelt wird.

Für die Terme im Einzelnen gilt:


Die Erweiterungen für Mischgase mit (24) umfassen neben den a- und b-Koeffizienten auch die τ resp. λ Werte (Gleichungssatz 56)!

a* = a (He + N2) = [( Pt, He * aHe ) + ( Pt, N2 * aN2)] / ( Pt, He + Pt, N2 )
b* = b (He + N2) = [( Pt, He * bHe ) + ( Pt, N2 * bN2)] / ( Pt, He + Pt, N2 )
λ* = λ (He + N2) = [( Pt, He * λHe ) + ( Pt, N2 * λN2)] / ( Pt, He + Pt, N2 ) (56)
Und zwar jeweils für alle k Kompartimente, z.B.: k = 1 - 16!

Weiterhin gelten für unsere zwei Inertgase He und N2 (52a, 52b, 52c) und somit:

Wird nun zur Berechnung der Dekozeiten td die Formel (23) mit allen obengenannten Erweiterungen für Mischgase benutzt,
entsteht damit eine Gleichung mit zwei weiteren Unbekannten,

nämlich ptiss, N2(t) und ptiss, He(t) zum Zeitpunkt t = td
da ja: Pt(t) = ptiss, N2(t) + ptiss, He(t), und dies jeweils für alle Kompartimentek!
a*, b* sowie λ* werden ja zum Zeitpunkt t = t0 ermittelt, gelten also nur für den Startzeitpunkt der Deko!
Da ja td noch unbekannt ist, sind es auch die jeweiligen Kompartimentssättigungen ptiss(td) und somit auch a*, b*, λ* zum Zeitpunkt t = td.


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Stand: 10 / 2013