Zusammenfassung der Formeln

Stickstoff (N2), Sauerstoff (O2), Kohlendioxid (CO2), Argon (Ar), Helium (He), ...

Index t (Index t) tissue = Gewebe, eigentlich ist kein echtes Körpergewebe gemeint sondern ein Kompartiment

Index amb (index amb) ambient = Umgebung

Zusammenhang zwischen den Teildrücken der einzelnen Gassorten und dem Gesamtdruck Pamb = P , (Gesetz von Dalton):

P = ∑ pi = p1 + p2 + p3 + ... (51)

Für Luft auf Meereshöhe demnach in etwa:

P = ∑ pi = pO2 + pN2 + pRest = 1 Bar (ca.)

Zur Berechnung der Partial-(=Teil)drücke benutzen wir die Volumenanteile f (= fraction) eines jeden Gases:

pi = Pamb * fi (51 a)

Damit werden beispielsweise (ca.):
pO2 = 1 Bar * 0,2
pN2 = 1 Bar * 0,8

Längeneinheiten

Da wir es in der englischsprachigen Literatur viel mit imperialen Quellen zu tun haben, hier folgende Konversionsfaktoren:

1 m = 1,094 yard = 3,28 feet = 39,37 inches
1 foot = 0,3048 m = 12 inch
1 inch = 2,54 cm
1 fathom = 6 ft = 2 yard
3 feet = 1 yard = 0,91439 m
1760 yard = 1 mile
1 km = 0,62 mile

Geschwindigkeit

1 knot (Knoten) = 1,15 miles / hour = ca. 51,48 cm / sec = ca. 2,13 km / h

Volumeneinheiten

1 Kubikmeter (m3) = 35.31 cubic feet (ft3)
1 L = 0,04 ft3
1 ft.3 = 28,317 L

Druckeinheiten

1 Bar = 105 Pascal (Pa) (1 Pa = 1 N / m2) = 14,5038 psi

1 Bar = 10 msw = 100 kPa

1 Atmosphäre (atm) = 760 mm Hg (Torr) = 10,080 Meter Seewasser (msw) = 10,33227 m WS =

33,071 feet sea water (fsw) = 33,8995 feet fresh water = 14,6960 psi

1 fsw = 0,3064 msw
1 msw = 3,2633 fsw
1 fsw = 0,0306391 Bar
1 foot of pure water = 0,0298898 Bar

1 Atmosphäre (atm) = 1,03323 kg/cm2 (bzw.: 1.033,23 cm H2O) = 1,01325 Bar (= 1013,25 mbar) =

760 Torr (mmHg) = 101,325 Kilopascal (kPa)

d.h.: 1 fsw = 22,9809 mm Hg, also 1 Wdh-Gr der USN Tabelle entspricht ca. 37 mm Hg

1 psi = 0,0689474 Bar

zwischen der Tauchtiefe d (in einer Druckeinheit gemessen, z.B. [bar] oder [fsw])
und absolutem Druck (ambient pressure) Pamb und dem
Umgebungsdruck auf Meereshöhe (p0) gilt der Zusammenhang:

Pamb = p0 + d
bzw. ganz allgemein:

Pamb = p0 + d * const.

Die Konstante const. dient zur Umrechnung einer Längenangabe (Tauchtiefe) in eine Druckeinheit
Wird die Tauchtiefe d in [m] angegeben, gilt deshalb in etwa folgender Zusammenhang für den Druck in [Bar]:
const. = 0,0980665 [Bar/m], für Süsswasser, und
const. = 0,100522 [Bar/m], für Salzwasser, und damit z.B.:

Pamb = p0 + d / 10,197 bzw.: Pamb = p0 + d / 9,948

Referenzen hierzu z.B.: [75], S. 575; [63], S. 457; und besonders [110], S. 893!


Allgemeines

Die Aufnahme und die Abgabe von Inertgasen aus einem System heraus, welches mit diesem Gas nicht im Zustand der Sättigung ist, es also kein Gleichgewicht der Partialdrücke inner- und ausserhalb des Systems gibt, lässt sich durch eine Differentialgleichung beschreiben:

dPt(t)/dt = k[Palv(t) - Pt(t)] (1a)

Anschaulich lässt sich diese DGL so erklären: die zeitliche Druckänderung dPt(t)/dt in einem Kompartiment ist abhängig vom im Moment wirkenden Druckgradienten Δ P. Die Grundidee sieht also mathematisch ganz einfach so aus: ∂P / ∂ t ∼ Δ P. Aus dieser Proportionalität macht man durch eine Konstante eine richtige Gleichung und aus den ∂s werden dann die Differentiale gebildet: dP(t)/dt = k * Δ P

Hierbei gilt die zentrale Idee aller sogenannten Perfusionsmodelle:
der Druckausgleich der Inertgase zwischen der Lunge und den Arterien erfolgt instantan!
D.h.: Palv(t) = Parteriell(t) , für alle t


Variable Definition
Pt(t) Partialdruck des Inertgases in einem Kompartiment zum Zeitpunkt t, in [Bar]
Palv(t) Partialdruck des Inertgases in den Alveolen [Bar]
k eine Konstante, vom jeweiligen Kompartiment abhängig [min-1]
t Zeit (also Tauchzeit) [min]


Schritt 1: Wir trennen die Variablen in (1a) und finden die inhomogene Differential Gleichung (1b):

dPt(t)/dt + kPt(t) = kPalv(t) (1b)

Schritt 2: Die homogene Gleichung (2):

dPth(t)/dt + kPth(t) = 0 (2)

wird mittels des folgenden Ansatzes gelöst: Pth(t) = C0e-λt

Das 'h' in Pth bedeutet, daß die homogene Gleichung gemeint ist. Setzen wir diesen Ansatz in (2) ein, so erhalten wir:

-λC0e-λt + kC0e-λt = 0 => (k - λ)C0e-λt = 0,

nur wenn k = λ oder C0 = 0 (uninteressant: dies bedeutet keine Druckveränderung, also kein Tauchgang),

und da e-λ*t ≠ 0 für alle t, nehmen wir also k = λ und erhalten somit die homogene Lösung von (2):

Pth(t) = C0e-kt. (3)

Schritt 3: Finde die spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung (1b) mittels den Randbedingungen. Wir nehmen zwei spezielle Situationen bzgl. Palv(t) an.

1) Palv(t) = const., d.h. die Tiefe bleibt ebenfalls konstant!

2) Palv(t) variiert linear mit der Zeit, d.h. die Ab- und Aufstiegsrampen sind konstant, also Ab- bzw. Aufstiegsgeschwindigkeiten bleiben konstant.

Situation 1:

Konstante Tiefe = konstanter Umgebungsdruck

In diesem Falle wird auch der alveolare Inertgasdruck einen konstanten Wert annehmen: Palv(t)=Palv0 . Dann wird die Gleichung (1b):

dPt(t)/dt + kPt(t) = kPalv0 (4)

Wir nehmen die 'Lösung':

Pt(t) = C0e-kt + C1 (5)

Wir setzen (5) in (4) ein und die Exponentialterme heben sich auf:

- kC0e-kt + kC0e-kt + kC1 = kPalv0

und wir erhalten: C1=Palv0.

Wir suchen uns eine weitere sinnvolle Randbedingung um C0 zu bestimmen. Es wird ein bestimmter, konstanter Anfangs-Partialdruck im Kompartiment angenommen: Pt(0) = Pt0 zum Zeitpunkt t=0. Dies bedeutet z.B. einen bestimmten, erreichten Sättigungsdruck oder auch den Startdruck beim Bergseetauchen. Das wird in Gleichung (5) eingesetzt:

Pt0=C0e-0 + Palv0

daraus folgt dann: C0=[Pt0 - Palv0]. Es ergibt sich dann die Haldane Gleichung für den Partialdruck eines Inertgases in einem spezifischen Kompartiment k:

Pt(t) = Palv0 + [Pt0-Palv0] e-kt (6a)

Variable Definition
Pt(t) Partialdruck eines Inertgases im Kompartiment mit der Konstanten k [Bar]
Pt0 Initialer Partialdruck des Inertgases im Kompartiment zum Zeitpunkt t=0 [Bar]
Palv0 der konstante Partialdruck des Inertgases in den Alveoli [Bar], für t = 0 und damit für alle Zeiten wg. der Randbedingung
k Eine Konstante, abhängig vom Kompartiment [min-1]
t Zeit [min]

(6a) ist die berühmte Haldane Gleichung, durch umformen kommen wir zu (6b);

wir addieren links und rechts einfach Pt0 und ordnen nach Palv0 - Pt0 um:

Pt(t) = Pt0 + [Palv0-Pt0] [1 - e-kt] (6b)

Dies ist die allgemein zitierte Gleichung, z.B.:

Bühlmann, [4] S. 14, 1983; [5] S. 64, 1993; [65] S. 96, 2002, mit leicht geänderten Indizies. So ist z.B. PI der inspiratorische Inertgasdruck, d.h. Rq (siehe Gleichung (13)) wird somit implizit = 1 gesetzt, hierin unterscheiden sich
die Deko-Modelle: siehe Kapitel "Handwerkszeug", Abschnitt "Respiratorischer Koeffizient".
Bei [4] auf S. 60 erscheint dies noch deutlich in der Formelzusammenstellung.

Situation 2:

der Umgebungsdruck ändert sich linear mit der Zeit

Beim Ab- bzw. Auftauchen mit konstanter Geschwindigkeit ändert sich der inspiratorische Partialdruck des Inertgases linear mit der Zeit (beim SCUBA Tauchen! Bei einem Rebreather (CCR = closed circuit rebreather) gelten, je nach Bauart, andere Gesetze!). In Gleichung (1) bedeutet dies:

Palv(t)=Palv0 + R*t.

Palv0 ist der anfängliche Partialdruck des Inertgases zum Zeitpunkt t=0, und R ist die Änderungsrate (in Bar/minute) des Partialdrucks dieses Inertgases in den Alveolen. R ist positiv für den Abstieg (Druckzunahme) und negativ für den Aufstieg (Druckabnahme). Wird dies in Gleichung (1b) eingesetzt ergibt das:

dPt(t)/dt + k Pt(t) = k Palv0 + k R t (7)

Der Lösungsansatz lautet:

Pt(t) = C0e-kt + C1 t + C2 (8)

Die Lösung (8) wird in Gleichung (7) eingesetzt und ergibt zunächst:

-k C0e-kt + C1 + k C0e-kt + k C1 t + k C2 = k Palv0 + k R t

und deshalb:
[k C1 - k R] t + [ C1 + k C2 - k Palv0 ] = 0 (9)

Um eine Lösung für C1 und C2 zu finden, die für alle Zeiten t gilt, setzen wir die Rechteck-Klammerterme in (9) gleich 0. Dies ergibt:

C1 = R und C2 = Palv0 - R/k. Daher gilt:

Pt(t) = C0e-kt + R t + Palv0 - R/k (10)

Erneut wird die Randbedingung Pt(0) = Pt0 für t=0 benutzt um C0 zu berechnen. Wird dies in (10) eingesetzt, folgt:

Pt0 = C0e-0 + Palv0 - R/k

und so gilt: C0 = Pt0 - Palv0 + R/k. Als endgültige Lösung finden wir:

Pt(t) = Palv0 + R t - R/k + [Pt0 - Palv0 + R/k] e-kt

bzw.:
Pt(t) = Palv0 + R [t - 1/k] - [Palv0 - Pt0 - R/k] e-kt (11)

Variable Definition
Pt(t) Partialdruck des Inertgases im Kompartiment [Bar]
Pt0 Initialer Partialdruck des Inertgases im Kompartiment zum Zeitpunkt t=0 [Bar]
Palv0 Initialer (alveolarer) Partial Druck zum Zeitpunkt t=0 [Bar]
k eine Konstante, vom Kompartiment abhängig
R Änderungsrate des Partial Druckes des Inertgases in den Alveolen (Bar/min) R = f * Ramb, f ist der Volumen-Anteil des Inertgases und Ramb ist die Änderungsrate des Umgebungsdruckes
t Zeit [min]

die sogenannte Schreiner Gleichung. Wird die Änderungsrate R = 0 gesetzt (bei konstanter Tauchtiefe) wird aus der Schreinergleichung (11) wieder die Haldanegleichung (6a).


Halbwertszeiten (HWZ)

Die Variable τ (Tau) wird als 'Halbwertszeit' (HWZ) bezeichnet und kennzeichnet die verschiedenen Kompartimente: -k * τ = ln(1/2) = -ln(2). Die Beziehung zwischen k und der HWZ ist:

τ = ln(2) / k bzw.: k = ln(2) / τ (12)

Der streng physiologische Zusammenhang zwischen den HWZ und den Kompartimenten entsteht eigentlich durch die Fettlöslichkeit und der Perfusion (der Durchblutung):

τ = 0,693 * αti / (αbl * dQ/dt) (12a)

wobei folgende Definitionen gelten:

αti = Löslichkeit des Inertgases im Gewebe (tissue), ml(S)gas * mlti -1 * (100 kPa) -1
αbl = Löslichkeit des Inertgases im Blut (blood), ml(S)gas * mlblood -1 * (100 kPa) -1
dQ/dt = Gewebsperfusion, mlblood * mlti -1 * min -1


Die Partialdrücke in den Lungenalveolen

Wir wollen den alveolaren Partialdruck Palv genauer bestimmen. Die Gaszusammensetzung und damit die Partialdrücke der einzelnen Bestandteile sind abhängig vom Umgebungsdruck Pamb, Wasserdampf, Kohlendioxid und den Bestandteilen des Gasgemisches, also der chemischen Zusammensetzung des Atemgases.

Der Umgebungsdruck Pamb ist die Summe aus atmosphärischem Druck (ca. 1 Bar auf Meereshöhe) + statischem Druck der Wassersäule (Tiefe), er steigt um ca. 1 Bar mit je 10 m Tiefenzunahme. Der Umgebungsdruck und der absolute (Summe alle Partialdrücke) Druck in der Lunge müssen gleich gross sein: nur beim Ein- bzw. Ausatmen ergibt sich eine kleine Differenz von max. ca. 30 cm Wassersäule.

Der Partialdruck eines Inertgases in der Lunge Palv lässt sich in etwa abschätzen durch:

Der Sauerstoffverbrauch und damit die Kohlendioxidproduktion wird angegeben durch den respiratorischen Quotienten Rq. Rq ist das Volumenverhältnis von Kohlendioxidproduktion zu Sauerstoffverbrauch, Durchschnittswerte sind: 200 ml Kohlendioxidproduktion / 250 ml Sauerstoffverbrauch pro Minute, d.h. ca.:

Rq = 200 / 250 = 0,8.

Rq hängt von der Ernährung sowie der Anstrengung ab: siehe Kapitel "Handwerkszeug"

Die Gleichung der alveolaren Ventilation beschreibt dies:

Palv=[Pamb - PH2O - PCO2 + ΔPO2] * f

oder:

Palv=[Pamb - PH2O + (1 - Rq)/Rq * PCO2 ] * f (13)

Variable Definition
Palv Partialdruck des Inertgases in den Alveoli [Bar]
Pamb Umgebungsdruck, also Absolutdruck des Atemgases [Bar]
PH2O Wasserdampfpartialdruck, bei 37 Grad Celsius ca. 0.0627 Bar (47 mm Hg)
PCO2 Kohlendioxidpartialdruck, ca. 0.0534 Bar (40 mm Hg)
ΔPO2 Delta = Änderung des Sauerstoffpartialdruckes durch den Gasaustausch in der Lunge
Rq der respiratorische Quotient
f Anteil des Inertgases im Atemgas; Bsp.: N2 in trockener Atemluft = ca. 0.78. Üblicherweise wird zum Tauchen f = 0,79xx angesetzt, d.h.: es werden Spurengase etc. mitberücksichtigt


Kritische Übersättigungen, symptomlos tolerierte Inertgasüberdrücke, M-Werte

Definitionen siehe: Kapitel "Handwerkszeug"

Haldane Werte

2 : 1 für alle 5 Kompartimente, allerdings gilt das so nur für den absoluten Druck, bzgl. den Inertgasspannungen im Verhältnis zum Umgebungsdruck sieht dann das so aus:

2 * 0,78 = 1,56, also 1,56 : 1 (Workman)

und ist somit eine Konstante für alle Kompartimente.

Workman M-Werte

Die lineare Workman Gleichung, also eine einfache Geradengleichung für jedes Kompartiment sieht so aus:

M = M0 + ΔM * d (14)

Variable Definition
M M-Wert, Maximaler Partialdruck des Inertgases im Kompartiment [fsw]
M0 M-Null Wert, für Meereshöhe, oder Tauchtiefe = 0 ft für jedes Kompartiment [fsw]
ΔM Delta M, Zunahme für M pro foot Tauch-Tiefe, für jedes Kompartiment definiert [fsw/ft]
d Tauchtiefe [ft]

Alle aktuellen Koeffizienten gibt es weiter unten in einer Tabelle. Workman lies die M-Werte abnehmen mit zunehmender Halbwertszeit, danach können schnelle Kompartimente einen höheren Inertgasüberdruck tolerieren als die langsamen.

Mit Gleichung (14) können wir die minimale Tiefe dmin berechnen in der der Taucher während des Deko-Stopps bleiben sollte. Dies muss man für jedes Kompartiment machen und ist abhängig von der bisher erreichten Inertgasübersättigung:

dmin = (Pt - M0) / ΔM (15)

Da jedes Kompartiment eine andere Sättigung und somit auch andere Minimaltiefen aufweist, nehmen wir aus diesen Werten den grössten: es darf dann maximal bis zu dieser Tiefe aufgestiegen werden und keinesfalls weiter!

Für den Zusammenhang zwischen den M-Werten und der Halbwertszeit gilt folgender empirischer Zusammenhang lt. Workman:

M = 152,7 τ -1/4 + 3,25 d τ -1/4 = M0 + ΔM d (16)

Für den Zusammenhang zwischen Nullzeiten tNDL [min] und der Tauchtiefe d [fsw] gilt nach Hempleman in etwa:

d * tNDL1/2 = 475 fsw min1/2 (16.1)

Der PADI/DSAT RDP wurde genau nach so einer Formel generiert, allerdings mit weiteren Anpassungen:

d - A = C * tNDL- x (16.2)

Die Bühlmann-Hahn Modelle

Bühlmann bietet ebenfalls wie Workman, eine lineare Beziehung zwischen Übersättigung und Umgebungsdruck an ([65], S. 117):

Pt.tol.ig = Pamb / b + a (17)

Variable Definition
Pt.tol.ig tolerierter Inertgasdruck, für jedes Kompartiment, (analog M) [Bar],
Summe aller Partialdrücke der inerten Atemgase
a Grenzwert bei einem theoretischen Umgebungsdruck von 0 Bar, d.h. der Achsenabschnitt [Bar]
Pamb Umgebungsdruck, absoluter Druck der Atemgase [Bar]
b 1/b Druckgradient: Wert der Zunahme pro Druckeinheit Tiefe (dimensionslos), d.h. die Steigung der Geraden

Der Unterschied in den Definitionen liegt lediglich darin, dass Workman die M-Werte auf Umgebungsdruck beim Tauchen bezogen auf Meereshöhe angibt und Bühlmann gegen 0 Bar Umgebungsdruck extrapoliert (und damit den Bereich zwischen 1 und 0 Bar für Bergseetauchen automatisch erschließt!). Beide Definitionen kann man ineinander umrechnen:

Pt.tol.ig = M
ΔM = const. * 1/b (18)
M0 = a + p0/b

Fü die a- und b- Koeffizienten benutzte Bühlmann die folgende empirische Relation in Abhängigkeit von der Halbwertszeit τ. Diese gelten so nur für Stickstoff ([65], S. 129)!
Für Helium sieht diese Relation etwas anders aus ... (siehe [65], S. 131).

a = 2 Bar * τ-1/3
b = 1.005 - τ-1/2 (19)

Dies ist der sogenannte "A"-Koeffizienten Satz, weiterhin gibt es einen "B" (konservativer, für Tabellen) und einen "C" Satz (für Tauchcomputerberechnungen) von Koeffizienten (Tabellen hierzu: siehe weiter unten resp. [65], S. 158).
Das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden HWZs ist in etwa 1,2 bis 1,4. Dies entspricht nicht etwa einem physiologischen Gesetz, sondern lediglich dem Wunsch, ein enges Netz von HWZs zu stricken. Lediglich die ganz schnellen und ganz langsamen Kompartimente, also die HWZs 4 - 8 und 400 - 720 min. entsprechen direkt Ergebnissen medizinischer Überlegungen. Nichtsdestotrotz wird auf S. 115 [65] die Identifikation der Kompartimente mit echten Körpergeweben unternommen:


Die dritte Wurzel zur Ableitung von a gibt wohl einen Hinweis auf das damit verbundene tolerierte "Überschussvolumen" an Inertgas.

Die etwas griffigere Formulierung von (17) sieht so aus:

Pamb, tol = ( Pt, ig - a ) * b (17 a)

Andere Perfusionsmodelle

DCAP (Decompression Computation and Analysis Program) benutzt die M11F6 M-Werte, die Bill Hamilton für die Schwedische Navy entwickelt hatte. Diese werden oft für Mischgase eingesetzt.
Die 11 HWZ für Stickstoff waren von 5 - 670 min., damit die für Helium: 5 - 240 min.

Der PADI RDPTM Koeffizienten Satz benutzt die 14 M-Werte, die von Raymond E. Rogers und Michael R. Powell, Diving Science and Technology Corp (DSAT), entwickelt wurden.
Mit diesem Modell, ihr wißt es, können nur NDLs berechnet werden, es ist nicht für Deko-TGs validiert worden (und auch nicht für Bergsee-TG)!

Diffusionsmodelle

Das RNPL SLAB Modell:
RNPL ist das "Royal Naval Physiological Laboratory" of Her Majesty, the Queen. Slab = Scheibe, Platte.
Hieraus haben sich die BLACKPOOL Tabellen für Caisson-Arbeiter und dann die BSAC 1988 Tabellen entwickelt.

P1 = Pambient - 8 / π2 * (Pambient - P0) * (e-k*t + 1/9 * e-9*k*t + 1/25 * e-25*k*t)
r = 27,5714 / P1 + 12,407
r = Supersaturation Ratio, 1,6 < r < 1,9
P1 in Bar
k = 0,007928
(20)

Dies ist eine spezielle Lösung des zwoten Fick'schen Gesetzes. Für den Diffusionkoeffizienten D gilt damit:
k = D * π2 / 4 * b2, b ist die Dicke der Scheibe.

Das DCIEM Kidd-Stubbs Modell:
DCIEM = Defence and Civil Institute of Environmental Medicine, Canada:
Bei diesem Modell sind 4 Kompartimente in Serie geschaltet, i = 1 - 5.
Dies Modell ist das Kidd-Stubbs Modell von 1962 bzw. KS-1971.
Hieraus wurden dann die DCIEM Tables 1983 (R.Y. Nishi und G.R. Lauckner) entwickelt.

dPi / dt = A * ((B + Pi-1 + Pi) * (Pi-1 - Pi) - (B + Pi + Pi+1)(Pi - Pi+1))
mit: P0 = Pambient
und: Pi = P im Kompartiment i
und: P5 = 0
A = 0,0002596
B = 83,67
A und B sind die sogenannten "Fluss Konstanten" für Luft, in msw

Die HWZ selber sind mittels der A- und B-Koeffizienten definiert und druck- bzw. zeitabhängig.
Die Asymmetrie zwischen Inertgasaufnahme (schneller) und- abgabe (langsamer) kommt hier zum Ausdruck:

T1/2 = ( ln ( 2 - ΔP / (B + Pi + Pf)))/(A(B + 2Pf))
mit: Pi initialer Druck
mit: Pf finaler Druck
ΔP = Pf - Pi

mit: SAD = Safe Ascent Depth
SAD = Pmax, Komp.i / 1,8 - 10,06

für die DCIEM Tabelle gilt jedoch folgendes:
SAD = Pmax, Komp.i / R - OFF - Psealevel
i = 1, R = 1,300 und OFF = 4,8
i = 2, R = 1,385 und OFF = 2,5
Psealevel = 10,06 msw
und i = 3; 4; 1/R = 0,0 sowie OFF = 0,0
(21)


Stopp-Zeiten, Nullzeiten (= no decompression limits), Zeit bis Flug etc.

Wir nehmen Gleichung (6a) und formen diese etwas um:

e- k * t = [ (Pt(t) - Palv0) / (Pt0 - Palv0) ] (22)
Der Bruch sei der Term in der eckigen Klammer [ ... ]. Die Gleichung wird logarithmiert:

ln [...] = ln ( e- k * t ) = - k t

wir lösen nach t auf:
t = - 1 / k * ln [ ... ]

und aus (12) mit k = ln(2) / τ ergeben sich die gefragten Zeiten zu:

t = - τ / ln2 * ln[ (Pt(t) - Palv0) / (Pt0 - Palv0) ] (23)

Mit (23) und sinnvollen Annahmen für die einzelnen Druckterme können wir jetzt berechnen:

Für Mischgase bietet Bühlmann folgendes an ([65], S. 119):

Pt(t) = Pt, He(t) + Pt, N2(t)

wobei die a- und b- Koeffizienten gemäss den Partialdrücken in jedem Kompartiment normiert werden sollen (siehe auch dazu die Bemerkung in [54] auf S. 86):
Es gilt somit für jede Kombination von a- & b-Werten für jedes Kompartiment zu jedem Zeitpunkt t:

a (He + N2) = [( Pt, He * aHe ) + ( Pt, N2 * aN2)] / ( Pt, He + Pt, N2 )
b (He + N2) = [( Pt, He * bHe ) + ( Pt, N2 * bN2)] / ( Pt, He + Pt, N2 ) (24)

Siehe dazu auch die Beispiele in [4], S. 27 sowie [5], S. 80.

Gradienten Faktoren / Gradient Factors (GF) / VGM (Variable Gradient Method)

Die a- und b-Koeffizienten werden mit den GF verziert:

a -> a * GF sowie b -> b / (GF - GF * b + b) ( 25.a )

Für alle GF pro Kompartiment gilt: 0 < GF ≤ 1
wenn konservativer gerechnet werden soll.
Bei aggressiver Rechenweise werden die GF > 1 gesetzt.

Die meisten Desktop Deko-Softwaren erlauben die Eingabe von 2 Gradientenfaktoren: GF Hi und GF Lo.
GF Hi (= High) bedeutet die Reduktion des führenden M-Wertes (oder des a- & b Wertepaares) und erzeugt so einen längeren letzten, flachen Stopp.
GF Lo (= Low) erzeugt einen tieferen, ersten Stopp.
Über eine lineare Funktion kann man die Gradientenfaktoren über alle Austauchstufen benutzen:
mit: GF Hi > GF Lo

GFm = ( GF Hi - GF Lo ) / erste Stopptiefe
GF = GF Hi - GFm * aktuelle Stopptiefe
( 25.b )

Bei der VGM (Variable Gradient Method) kann man, statt nur ein GF-Paar für die komplette Schar aller Kompartimente, für jedes Kompartiment gezielt einen GF Hi / GF Lo angeben.


VPM (Varying-Permeability Model)

Hauptquelle:
Yount DE, Hoffman DC. On the use of a bubble formation model to calculate diving tables.
Aviat. Space Environ. Med. 1986: 57: 149 - 156.

Weitere Quellen im "deco manual"

r1min = 1 / [ (1/r0min) + (P1 - P0)/ 2 * (γc - γ) ]

r(tr) = r1min + ( r0min - r1min) * [1 - exp(-tr / τr) ]

Pssmin = 2 * ( γ / γc ) * ( γc - γ ) / r(tr)

Pssnew = [ b + ( b2 - 4 * c )1/2 ] / 2

mit:

b = Pssmin + λ * γ / [ γc * (tD + H / ln(2)) ]

c = ( γ / γc )2 * λ * (P1 - P0) / (tD + H / ln(2))

(Eq. 1 -> 4c)
ebd., S. 150 - 151
(26)

Die 5 "freien" Parameter wurden über Anpassungen der TTS (time-to-surface) aus den USN- und den RNPL-Tabellen gewonnen:

γc = 257 dyn / cm ( = mN/m)
γ = 17,9 dyn / cm ( = mN/m)
r0min = 0,8 μm
τr = 20160 min (= 14 Tage)
λ = 7500 feet * min (ca. 227,3 Bar * min)
(ebd.: S. 151 & 155) (27)


RGBM über ZH-L gefaltet / RGBM folded over ZH-L

Wienke bietet ein einfaches Verfahren an, ([31], S. 79 - 80; sowie [71], S. 33 - 40) wie die Ergebnisse aus den RGBM Modellen
über ein bestehendes ZHL-Modell gefaltet werden können: es werden lediglich die a-, b- Koeffizienten linear skaliert.

Bezeichnungen hierfür:
tiny RGBM (tiny = winzig)
modified RGBM (modified = verändert, angepasst)
recreational RGBM (recreational = für Sporttaucher)
Haldane-imbedded (in die Haldane Theorie eingebettet)
Dies Modell ist in allen RGBM-Simulatoren zu finden wie:
GAP, ABYSS, etc.-Softwaren sowie in MARES und SUUNTO Computern.

Dies wird mittels den sogenannten "reduction factors" f bewerkstelligt. Im Klartext werden
die 16 Kompartimente und die dazugehörigen HWZ sowie die zentrale Gleichung (17) weiter benutzt.
Mit diesen f ( f < 1) wird aus (17):

P min = ( p - af ) * bf
wobei:
af = a * f
und:
bf = b / f * ( 1 - b ) + b
(28)

f hängt von der HWZ ab und wird nur bei Luft/Nitrox für HWZ > 180 min. definiert.
(Bemerkung:
Bei genauem Hinsehen ist dies mit (25.a) identisch)

Desweiteren sollen genau diejenigen Faktoren eingehen, die eben im ZHL Modell bisher
nicht berücksichtigt sind:

f = (1 - f 0 ) * τ / 180 + f 0
wobei:
f < 1
und:
τ > 180 min.
(29)

Für die Faktoren: Wdh-TGs (rp), reversed Profiles (dp) und Mehrtages-Non-Limit Tauchen (dy) wird
für f0 folgendes angesetzt:

f 0 = 0,45 * frp + 0,30 * f dp + 0,25 * f dy (30)

Es bedeutet:
rp = repetitive (Wdh-TG)
dp = deeper than previous (reversed Profil), also flacher TG zuerst
dy = multiday, Mehrtages-Tauchen, Zeitraum länger als 30 h

Für die einzelnen Faktoren gelten Abhängigkeiten:

frp = 1 - 0,45 exp [ - (tsurrp)2 / 4 * ηrp2 (31)
fdp = 1 - 0,45 * [ 1 - exp (- ΔPmax / Pmax)] * exp [ - (tsur - ηdp)2 / 4 * ηdp2
fdy = 0,70 + 0,30 exp ( - n / ηdy)

Variable Definition
10 min. < ηrp < 90 min.
30 min. < ηdp < 120 min.
12 h. < ηdy < 18 h.
tsur OFP in [min.]
ΔPmax maximale Druckdifferenz bei reversed Profiles
Pmax maximaler Umgebungsdruck
n 1. Mehrtages-Tauchfrequenz innerhalb 24 h, S.36
2. Anzahl der Tauch-Tage innerhalb 30 h, S. 37

(Bemerkungen:
1) der Faktor bei f dy schwankt irgendwie zwischen 0,25 und 1,0 ...(S. 36)
2) n ist offenbar nicht stabil definiert, desweiteren passen die Einheiten (1/Zeit oder dimensionslos)
nicht zur Einheit von η
3) auch über die Zeit und die diversen Bücher ändern sich die Definitionen ganz leicht und inkompatibel ...
in [31] von 1998, [71] von 2003 sowie in "Diving Physics with Bubble Mechanics and Decompression Theory in depth" von 2008
!!!)

Für Helium gilt analog:

f = (1 - f 0 ) * τ / 67,8 + f 0
wobei:
f < 1
und:
τ > 67,8 min.
(32)

Bei Trimix gilt entsprechend für die einzelnen Partialdrücke: fO2 + fN2 + fHe = 1.

Für den gesamten Inertgasdruck Π in den Kompartimenten gilt:

Π = ( Pamb, N2 + Pamb, He ) + ( Pt, N2 - Pamb, N2) * e(- kN2 * t) + ( Pt, He - Pamb, He ) * e(- kHe * t)

wobei jetzt allerdings die mit den Anteilen f am Atemgas gewichteten Faktoren af, N2 und af, He sowie bf, N2 und bf, He zur Berechnung der kritischen A, B - Koeffizienten für das Trimix benutzt werden:

Af = (fN2 * af, N2 + fHe * af, He) / ( fN2 + fHe )

sowie:

Bf = (fN2 * bf, N2 + fHe * bf, He) / ( fN2 + fHe )

und somit der kritische Druck:

Pmin = ( Π - Af ) * Bf

(33)

(Bemerkung:
1) die Formel für Π auf S. 39 ist falsch, hier bei uns aber korrigiert!
2) Π wird somit anders berechnet wie (24). Es ist fraglich, was bei einem Wechsel auf reinen Sauerstoff in der Deko passiert:
die Anteile von He und N2 werden identisch 0 im Atemgas, somit würden Af = 0
und auch Bf = 0 und damit würde auch Pmin = 0 ...)


Für die inhärente Untersättigung, (Sauerstoff-Fenster v) gibt Wienke folgendes an;
v [fsw]:, P = Pamb = Pabsolut [fsw], fO2 Sauerstoffanteil

v = fO2 * P - 2,04 * ( 1 - fO2 ) - 5,47 (34)

(Bemerkung:
Das Oxygen Window ist aber nicht-linear, es erreicht seine grösste Öffnung bei ca. 1600 mm Hg!)


Zusammenhang zwischen k und den Kompartimenten

Aus (12) gilt ja folgendes, zunächst einmal rein mathematisch: τ = ln(2) / k bzw.: k = ln(2) / τ

Wie ist nun der Zusammenhang zwischen k und den Kompartimenten, d.h. den unterschiedlichen Perfusionsraten und den unterschiedlichen Löslichkeiten?

Eine einfache Massenbilanz für ein Inertgas in einem ausschliesslich durch Perfusion versorgtem Gewebe sieht so aus:

N2gespeichert = N2rein - N2raus (35)

Das Inertgas wird mit arteriellem Blut zum Gewebe transportiert und verlässt diesen Bereich mit dem venösen Blut.
Hierbei wird angenommen, dass der arterielle (pNa) und der alveolare Inertgaspartialdruck (pNA) gleich sind, und dass
die Diffusion zwischen nahe aneinnander gelegenen Kapillaren instantan erfolgt, d.h.: auch der venöse (pNv) und der Gewebspartialdruck (pNt) sollen für dieses Inertgas gleich sein.

Die Löslichkeitskoeffizienten des Inertgases für Blut (b) und Gewebe (t) sind: αb sowie αt. Q ist der Blutfluss, Vt ist das Gewebevolumen. Beginnend zur Zeit t = 0 wird vorausgesetzt, dass pNa sofort mit einem konstanten Wert, pa, gleichgesetzt wird. Die Änderungsrate des Gewebsdruckes bestimmt die Rate mit der ein Inertgas im Gewebe gespeichert wird. Die kleine Skizze unten mag helfen: deshalb gilt zunächst:

αt * Vt * dpt/dt = αb * dQ/dt * pNa - αb * dQ/dt * pNv (36)
mit: dpt/dt + k * pt = k * pa
sowie: k = αb * dQ/dt / ( αt * Vt )

Die Lösung von (36) ist ja entweder (6a) bzw. (6b). Damit gilt letztenendes ein Zusammenhang zwischen der HWZ und der Gewebsperfusion und den Löslichkeiten wie folgt:

τ = 0,693 / k = 0,693 / ( αb * dQ/dt / αt * Vt ) (37)

Der Gewebsdruck über der Zeit ( pt(t) ) ist die Summe aus der Abnahme von p0 und dem Anstieg des alveolaren Drucks pNA:

Der kleine Rührer soll andeuten, dass es sich um ein "well stirred" (gut vermischtes) Kompartiment handelt.


VVAL18 LEM Modell

Bei der Revision 6 von 04/2008 der USN Tabelle wurde das Haldane/Workman EE Modell auf ein LE- bzw. LEM Modell umgebaut.

Zunächst wird der arterielle Inertgaspartialdruck pa korrigiert:

pa,N2 = Pamb - PI,O2 -1,5 (38)

pa,N2 = arterieller Inertgaspartialdruck
Pamb = absoluter Umgebungsdruck
PI,O2 = inspiratorischer Sauerstoffpartialdruck (in FSW)
1,5 = arterieller CO2 Partialdruck in FSW (35 mmHg)
Der Wasserdampfpartialdruck wird zunächst ignoriert.

Ausgehend von Gleichung (6a) wird für die Entsättigung ein linearer Verlauf vorgeschrieben.
Diese lineare Entsättigung wird bis zum "exponential cross over point" berechnet, danach
geht es wie bisher exponentiell weiter.

Ist zu irgendeinem Zeitpunkt in irgendeinem Kompartiment während der Entsättigungsphase der Inertgas-
partialdruck grösser wie der Umgebungsdruck wird gilt folgende lineare Gleichung:

pT,N2 = PTi,N2 + (2,8 - PI,O2) * K * T (39)

pT,N2 = Inertgaspartialdruck im Kompartiment zur Zeit T
PTi,N2 = initialer Inertgaspartialdruck im Kompartiment
T = Zeit auf aktueller Tiefenstufe
2,8 = Summe aus venösem O2 (46 mmHg) und CO2 (53 mmHg) minus arteriellem CO2 (35 mmHg) = 64 mmHg in FSW
Gleichung (39) wird benutzt, wenn gilt:

pT,N2 ≥ Pamb - 4,3 (40)

Wobei die 4,3 = Summe aus venösem O2 und CO2 in FSW (=99 mmHg) ist.

Die Kriterien für einen "sicheren Aufstieg" (safe ascend) werden nun statt M-Werten:
MPTT = Maximum Permissible Tissue Tensions genannt. Die Werte hierfür findet ihr hier im
Koeffiziententeil der Formelsammlung.

Die Kalibrierung für Mischgase sowie die Anpassungen über das NMRI Model werden mittels den weiteren Blutgas-Parametern bewerkstelligt.


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Stand: 10 / 2013